Définition :
La limite inférieure de \((u_n)\) correspond à : $${{\varliminf u_n}}={{\lim\inf\{u_k,k\geqslant n\} }}$$
(Limite, Borne inférieure)
Définition :
La limite supérieure de \((u_n)\) correspond à : $${{\varlimsup u_n}}={{\lim\sup\{u_k,k\geqslant n\} }}$$
(Limite, Borne supérieure)
Proposition :
Si \((u_n)\) est bornée, alors \(\varliminf u_n\) est la plus petite valeur d'adhérence de \(u_n\)
Proposition :
Si \((u_n)\) est bornée, alors \(\varlimsup u_n\) correspond à la plus grande valeur d'adhérence de \(u_n\)
(Valeur d'adhérence, Suite bornée)
Intérêt
$${{\varliminf u_n=\varlimsup u_n}}\varlimsup\text{ et }\varliminf}}\iff {{(u_n)\text{ converge} }}$$
Propriétés
Opérations sur les limites inférieures et supérieures
Proposition :
Soit \(\ell\in{\Bbb R}\)
La suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) converge vers \(\ell\) si et seulement si $$\varlimsup_{n\to+\infty}\lvert\ell-u_n\rvert=0$$
Proposition :
On a \(u_n{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}+\infty\) si et seulement si $$\varliminf_{n\to+\infty}=+\infty$$
(idem en \(-\infty\))